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根号2有多大?

背景介绍

　　本学期，我校开展了同课异构的活动。我们数学组在开设时，取材于七年级浙教版的第三章《实数》，多位老师在上课时都有不同的情况发生，其中在讲“ 有多大呢？”的教学片断时，各有千秋。

情境描述

『师一』

　　师：讲完算术平方根的概念后，今天数学课的教学内容是用逼近法探求 有多大和用计算器求一个数的算术平方根．

　　（师生复习了算术平方根的概念）

　　师：求一个正数或零的算术平方根有两种情况，当这个数是完全平方数时，可以直接用平方的方法算出它的平方根，例如：9的算术平方根是3，0．01的算术平方根是0．1；当这个数a不能表示成另一个数的平方时，我们暂时还不能求出它的算术平方根的具体数值，但可以用符号 来表示，例如上节课我们已经用拼图的方法知道了面积为2的正方形的边长是 ，这就是说数2的算术平方根是 。那么 究竟是多少呢?先请同学们独立思考，然后再讨论交流。

　　（同学们有些在看着面积为2的正方形若有所思，有在草稿纸上画图思考，有些几个同学在低声交流。约2分钟后──）

　　生1：老师，我没有求出 的具体大小，但我觉得 的大小应该在1和2之间。

　　师：为什么？请讲理由。

　　生1：我是看书上的图后有这样的感觉的。

　　师：好，是否可以说得更明白些呢？

　　生2：通过画图我发现，面积为1的正方形的边长是1，面积为4的正方形的边长为 ，而面积为2的正方形比1大比4小，所以它的边长 应该在1和2之间．

　　（张老师在黑板上画出了3个正方形的草图，有了图，其他同学对生2的想法表示理解。）

师：（板书）：1< <2．也即2是1点几的数，它到底应等于多少呢？

（这下同学们好像看到了希望，热情高了不少，动手动脑的人看上去更多了。）

　　生3：（自言自语地）只要确定十分位的数就好了，可怎么办呢？

　　师：（附和着生3）是呀，可怎么确定十分位数的大小呢？

　　生4：（高兴地）我知道了，1．5，对是1．5．应是1与2的中间数1．5．

　　生2：（大声地）不对不对，1．5的正方形面积是1．52＝2．25比2大。（稍停）那应该是1．4，但1．42＝1．96，又太小了，奇怪呀，怎么会这样呢？

　　（这时，教室里的声音大起来了，同学们感到有些迷惑，好像猜谜时已经很接近谜底但又说不出具体的结果的感觉．他们在思考，在猜测，在议论……）

　　生5：十分位的数是4，其实我们已经给求出来了．

　　（有些同学表示不解，张老师也要求生5说理由）

　　生5：比1．5小而又比1．4大的数应该是1．4……，这不是可以肯定它的十位数是4了吗？

　　（此言一出，教室里先是安静，然后响起了热烈的掌声）

　　师：对，很好．也就是1．4< <1．5，即 ≈1．4…，那么这个百分位上的数是多少呢？

　　（马上有同学进行回答）

　　生6：百分位上的数是1，我用刚才的方法，计算出1．412和1．422，它们分别是1．9881和2．0164，而2在这两个数之间，所以百分位上的数是1。

　　师：（板书）1．41< <1．42，即 ＝1．41…，现在我们已经有了很好的经验，大家可以类似地用刚才的方法，分别求出它的千分位、万分位等数位上的数，看看 究竟会等于多少呢？

（同学们借助计算器，很快就求出了千、万分位上的数。但是对于 究竟等于多少还是无法求出，并且出现了两种不同的观点。教室里开始热闹起来了，争论声也此起彼伏，张老师听着同学们的争论，也不急于表态．稍停，他请争论的一方代表发言）

　　生7：我认为 这个数是不存在的，因为我们已经计算到它的万分位了，还不能求出它的精确值，并且按这种算法可以预见它的精确的结果是求不出来的，所以这个数是不存在的。

　　（教室里安静下来了，另一方的有些同学也感觉生7讲得有道理）

　　（张老师请持有另一种观点的学生发表意见）

　　生8：我认为 这个数是存在的，因为面积是2的正方形是存在的，我们已经拼出来了，而它的边长就是 ，这个长度不就是 的值吗？

　　（教室里更安静了，觉得生8讲得也很有道理，这下他们可分不清到底谁是正确的了，同学们只好拿眼睛看着张老师，好像他的脸上写着答案一样）

　　师：确切地说 这个数的精确值是无法求得的，正如生7理解的那样，我们可以不断地计算出它的小数位数，并且这些数是没有规律的，是无限的，我们把它叫做无限不循环小数。

　　生9：我们只要用尺子量出面积为2的正方形的边长不就可以得到它的值了吗？

　　（很快有同学说，这个量得的数是近似值．同学表示接受）

　　师：实际上，许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数。例如 ， ， ，…，由于这些数的精确值无法得到，所以我们只能引入符号“ ”来表示一个非负数的算术平方根。其实圆周率也是一个这样的数，所以我们用π来表示它，3．14是它的近似值，现在用世界上运算速度最快的超级计算机已求得小数点后面的第2061亿位了。

　　生9：老师，那这样的数与我们以前学过的数就不一样了？

　　师：对，我们以后把这样的数叫做无理数。

　　　……

『师二』

在完拼减两个面积为1的正方形成所拼成的大正方形的面积是多少？设大正方形的边长为 ，则所拼成的大正方形的面积可以怎么表示？

生1：2；

师：我们知道有理数分为整数和分数，那么 是整数吗？

（众学生做思考作状）

师：（结合图形）哪条线段的长为2？

生2：大正方形的边长。

师：它与小正方形有什么关系呢？

教师结合剪纸模型启发，学生纷纷抢答：它就是小正方形的对角线的长。

师：你能将 在数轴上表示出来吗？

教师指导学生作图：

师：很显然， 应在1和2之间，那它是整数吗？

生3：不是。

【设计意图】将 在数轴上表示出来，显然 是介于1和2之间的一个数，能使学生很直观发现不是整数。同时，也为后面的例题做了铺垫，降低了难度。

师：那它是分数吗？

学生：……（作思考状）

师：我们知道， 是介于1和2 曹俊 by 2008-1-2 10:59:12
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