师：我们知道， 是介于1和2之间的一个数，下面我们一起来探索十分位、百分位、千分位……的值。请在表中的空白处填上适当的不等号：

      1.42_____(  )­­²_____ 1.52               1.4_____ _____1.5

      1.412_____( )²_____ 1.422             1.41_____  _____1.42

      1.4142_____( )²_____  1.4152         1.414_____ _____1.415

      1.414 22_____( )²_____ 1.414 32       1.414 2_____  _____1.414 3

      1.414 212_____( )²_____1.414 222    1.414 21_____ _____1.414 22

                  ……

（学生与同桌合作，完成填空）

师：（利用填空，让学生感受无限逼近思想，借机提出问题） 是有限小数吗？

生4：（脱口而出）不是，它是无限小数。

师：它是无限循环小数吗？那它是不是分数？

生4：（思考片刻后回答）不是。

师：经过大家的讨论可知， 既不是整数，也不是分数，所以 不是有理数。它是什么数呢？它是我们今天学习的无理数。像这种无限不循环小数叫做无理数。

分析与讨论

　　算术平方根的概念学生理解起来是有一定难度的，这一方面是因为它是平方运算的逆运算，已知指数和幂（平方数）求底数，因为没有具体的计算公式可用，只能依赖于它的描述性的定义，另一方面是很多数的算术平方根是无理数，没有一个精确的值，只能用符号来表示它，这些都与学生已有的知识经验是完全不一样的，从而使算术平方根的抽象性大大增加，所以学生对 的存在性引起怀疑也是比较自然的。为此，教材在上节课中安排了用拼图的方法给出了一个面积为2的正方形也是为了强化 的存在性。而用逼近法求 的近似值的一个主要目的是进一步让学生感受算术平方根的存在性，并从逼近的过程让学生体验这一重要的数学思想。从案例描述的教学过程来看，张老师把教材的意图理解得比较到位。

　　由于用逼近法确定一个数的范围，在以前的学习中从未出现过，所以学生一下子很难体会到它的妙处，思维也很难展开，因此张老师在开始时并不直接给出 的范围，而是通过让学生思考去找到确定这个值大小的一个入口，事实上学生通过画图取得了成功；确定十分位的数的大小是一个难点，由于老师的“幕后”策划学生也接受了它，下面的数值确定，其方法与前面类似，学生容易接受。但由于计算工具的限制和实际上这个数的无限性，最后还是无法求得它的精确值，所以会出现两种不同的认识，这是很正常的。张老师的处理方法也是较好的。课后与张老师交流时得知，虽然学生暂时接受了 的无限性，但很多同学还是存在着疑问，尤其是对它的不循环性更有疑惑，也有学生说， 可以表示为面积等于2的正方形的边长，那么 ， ， ，…，呢，它们的近似值怎么能像 那样画出来呢？确实，由于还没有学过勾股定理，无法向学生说明，所以从这个角度来说，也是教材体系上的一个遗憾吧。

　　点评

　　本案例有以下的特点：

　　①教师对教材的把握和理解准确到位。算术平方根的概念对七年级的学生来说有点难接受，因为它的求法依赖的是描述性的规定，且很多正数的算术平方根是无理数，无理数的无限不循环对学生来说不易理解，而在此之前学生还没有学过勾股定理，所以对于像 ， ， ，…，这类的数很难用图形来说明它们的存在性，只能通过面积为2的正方形的边长 作为此类数的代表来进行学习。另一方面，用逼近法探求 的近似值是一种重要的且实用的数学思想和方法，从案例的描述过程来看教师很重视它的地位，花时间来引导学生进行探究学习，这很值得肯定。

　　②学过程注意渗透新的教学理念，注重探究性 对学生来说是一种新数，其实这节课中对它值的确定的过程是使学生经历数的范围的一次重要扩充的过程。开始时 在1和2之间以及它的十分位数的确定显得特别重要，教师提出问题后而不直接给出答案，而是放手让学生思考和探究，通过学生的探究和交流达到了目的。这一过程体现了要尽量让学生经历思考和交流的过程的教学理念。在老师的“策划”下，课堂的探究气氛越来越浓，学生的学习主动性也越来越高，后来形成的两种不同的观点，就是学生深入思考的结果。最后，老师才对 应该怎样认识作了归纳性的发言，且提到了引入符号的必要性，统一了学生的认识。在这一过程中，老师不急于表态，以一个参与者的角色组织着学生的学习过程，这种教学态度和方法也很值得提倡。

曹俊 by 2008-1-2 11:10:26
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